FiSiK D OtRo MuNdO: Movimiento Circular Uniforme

Se define como movimiento circular aquél cuya trayectoria es una circunferencia.

El movimiento circular, llamado también curvilíneo, es otro tipo de movimiento sencillo.

La experiencia nos dice que todo aquello da vueltas tiene movimiento circular. Si lo que gira da siempre el mismo número de vueltas por segundo, decimos que posee movimiento circular uniforme (MCU).

Este también se puede representar en forma de giro o movimiento circular, se realiza en un eje de giro, un radio constante y la trayectoria de una circunferencia Ejemplo: La trayectoria de la tierra sobre su eje, las aspas de un ventilador y un carrusel.

Velocidad Angular

La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado por una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega ω. Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s).

Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la emplea en la cinemática de la partícula o punto material, especialmente cuando esta se mueve sobre una trayectoria cerrada (circular, elíptica, etc).

También es la rapidez con la que varía el ángulo en el tiempo y se mide en radianes / segundos.

(2 π [radianes] = 360°)

Por lo tanto si el ángulo es de 360 grados (una vuelta) y se realiza por ejemplo en un segundo, la velocidad angular es: 2 π [rad / s].

Si se dan dos vueltas en 1 segundo la velocidad angular es 4 π [rad / s].

Si se da media vuelta en 2 segundos es 1/2 π [rad / s].

La velocidad angular se calcula como la variación del ángulo sobre la variación del tiempo.

Considerando que la frecuencia es la cantidad de vueltas sobre el tiempo, la velocidad angular también se puede expresar como:

En MCU la velocidad angular es constante.

Vector de Posición

Se considera un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitarios en la dirección de estos ejes $(\text{O}; \mathbf i, \mathbf j)$ . La posición de la partícula en función del ángulo de giro $\varphi$ y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano x y:

$\begin{cases} x = r \cos \varphi \\ y = r \sin \varphi \end{cases}$

De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

$\mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j$

siendo:

$\mathbf{r} \;$ : es el vector de posición de la partícula.

$r \;$ : es el radio de la trayectoria.

Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (ω):

$\omega = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{\varphi}{t} \qquad\Rightarrow\qquad \varphi = \omega {t}$

El ángulo (φ), debe medirse en radianes:

$\varphi = \frac{s}{r}$

donde s es la longitud del arco de circunferencia

Según esta definición:

1 vuelta = 360° = 2 π radianes

½ vuelta = 180° = π radianes

¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes

Velocidad Tangencial

La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:

$\mathbf{v} = \frac{d\mathbf r}{dt} = -r\omega\sin (\omega t) \mathbf i + r\omega\cos (\omega t) \mathbf j$

en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial

$\mathbf{v} = \omega \mathbf r$

El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar $\mathbf r \cdot \mathbf v$ y comprobando que es nulo.

Aceleración

La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:

$\mathbf{a} = \frac{d\mathbf v}{dt} = -r\omega^2\cos (\omega t) \mathbf i - r\omega^2\sin (\omega t) \mathbf j$

de modo que

$\mathbf{a} = -\omega^2 \mathbf r$

Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.

El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad $v\,$ de la partícula, ya que, en virtud de la relación $v=\omega r\,$ , resulta

$a = \omega^2 r = \frac{v^2}{r}$

Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.

Movimiento circular y movimiento armónico

En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:

$x(t)=R_0\sin(\omega t+\pi/2),\ y(t)=R_0\sin(\omega t)$

El momento angular puede calcularse como:

$L=xp_y - yp_x = m(x\dot{y}-y\dot{x}) = m\omega R^2$

De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares.

Periodo y Frecuencia

El periodo $T\,$ representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:

$T=\frac{2\,\pi}{\omega}$

La frecuencia $f\,$ mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:

$f=\frac{\omega}{2\,\pi}$

Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período:

$f = \frac{1}{T}$

Fuerza Centrípeta

Se le llama fuerza centrípeta a la fuerza o al componente de la fuerza que actúa sobre un objeto en movimiento sobre una trayectoria curvilínea, y, que esta dirigida hacia el centro de la curvatura de la trayectoria.
El termino "Centrípeta" proviene de las palabras latinas Centrum (de centro) y Petere (de dirigirse hacia).
Ejemplo:
Supongamos que atamos una pelota con una cuerda y la hacemos girar en círculos a velocidad angular constante.La pelota se mueve en una trayectoria circular porque la cuerda ejerce una fuerza centrípeta hacia la pelota.

Fuerza Centrifuga

Es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el movimiento de un cuerpo en un sistema de referencia en rotación, o equivalentemente a la fuerza aparente que percibe un observador no inercial que se encuentra en un sistema referencia giratorio.
El calificativo de "Centrifuga" significa que "huye del centro".
Tiende a alejar los objetos del centro de rotación mediante la velocidad tangencial, perpendicular al radio, en un movimiento circular.
Ejemplo:
en un juego de la feria, el que tienes que estar parado en un lugar que esta pegado por dentro de una rueda que gira, se aplica fuerza centrifuga al girar te aleja del centro de la rueda.

FiSiK D OtRo MuNdO

domingo, 29 de julio de 2012

Movimiento Circular Uniforme

Movimiento circular y movimiento armónico

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